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Standardabweichungsrechner
Gib deine Werte durch Kommas oder Leerzeichen getrennt ein, um Mittelwert, Standardabweichung und Varianz zu sehen.
Was die Standardabweichung misst
Die Standardabweichung misst, wie stark die Werte eines Datensatzes um den Mittelwert streuen. Eine niedrige Standardabweichung bedeutet, dass die Werte nah am Mittelwert liegen, eine hohe Standardabweichung bedeutet, dass sie viel stärker streuen.
Grundgesamtheit oder Stichprobe, was verwenden
Wenn dein Datensatz die gesamte Grundgesamtheit ist, die dich interessiert, also jeder existierende Wert, verwende die Standardabweichung der Grundgesamtheit. Wenn dein Datensatz nur eine Stichprobe aus einer größeren Grundgesamtheit ist, über die du Schlüsse ziehen willst, verwende die Stichproben-Standardabweichung. Der Unterschied liegt im Nenner: die Grundgesamtheit teilt durch n (die Anzahl), die Stichprobe teilt durch n−1, was einen etwas größeren Wert ergibt, um die Unsicherheit auszugleichen, nur eine Stichprobe zu haben.
Die Formeln
σ = √(Σ(x − x̄)² / n)
s = √(Σ(x − x̄)² / (n−1))
x̄ ist der Mittelwert, x ist jeder einzelne Wert, und n ist die Anzahl der Werte. Beide Formeln summieren die quadrierte Differenz zwischen jedem Wert und dem Mittelwert und ziehen dann die Quadratwurzel aus dem Durchschnitt.
Rechenbeispiel, Schritt für Schritt
Für den Datensatz 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 (8 Werte) beträgt der Mittelwert 5. Die Abweichungen vom Mittelwert sind −3, −1, −1, −1, 0, 0, 2, 4, und ihre Quadrate sind 9, 1, 1, 1, 0, 0, 4, 16, was zusammen 32 ergibt. Die Standardabweichung der Grundgesamtheit ist √(32/8) = √4 = 2. Die Stichproben-Standardabweichung ist √(32/7) ≈ 2,14.
Der Zusammenhang mit der Varianz
Die Varianz ist die quadrierte Standardabweichung, also genau jene Summe, bevor die Quadratwurzel gezogen wird. Im obigen Beispiel beträgt die Varianz der Grundgesamtheit 4 (das Quadrat von 2). Varianz wird oft in statistischen Berechnungen verwendet, ist aber direkt schwerer zu interpretieren, da ihre Einheit quadriert ist, weshalb die Standardabweichung meist anschaulicher zu präsentieren ist.
Häufig gestellte Fragen
Warum ist die Stichproben-Standardabweichung immer größer als die der Grundgesamtheit?
Weil die Stichprobe die Summe durch n−1 statt durch n teilt, eine kleinere Zahl als Divisor ergibt ein größeres Ergebnis. Das gleicht aus, dass eine Stichprobe dazu neigt, die tatsächliche Streuung der gesamten Grundgesamtheit zu unterschätzen.
Was gilt als gültiges Eingabeformat?
Gib die Zahlen durch Kommas oder Leerzeichen getrennt ein, wie "2, 4, 6, 8" oder "2 4 6 8". Beide Formate funktionieren, du kannst sie sogar mischen.
Was passiert, wenn ich nur eine Zahl eingebe?
Der Rechner benötigt mindestens zwei Werte. Bei nur einem Wert gibt es keine Streuung zu messen, und die Standardabweichung (besonders die der Stichprobe, die durch n−1 teilt) wird undefiniert.